数学笔记1

目前这里数学公式显示有点问题。

数学笔记1

本文假设已经知道微积分的内容，并着重复习一下数学分析的部分核心知识和方法。

数学分数通常作为微积分的后置课程，因为微积分的结论是符合现实的并具有使用价值，而数学分析是尝试对已有结论做形式化和公理化。

定义定理

极限

• 极限的定义: $\forall \varepsilon>0,\ \exists N\in\mathbb{N}^*,\ \text{s.t. } n>N \Rightarrow

  x_n - A

  <\varepsilon$。

• 常见的极限：$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0$。
• 极限的运算：lim a + lim b = lim (a+b)
• 三明治定理 Sandwich/Squeeze Theorem：若对充分大的 n，有xn​≤yn​≤zn​且limn→∞​xn​=limn→∞​zn​=L则limn→∞​yn​=L,例如 lim x→0​ x^2 sin(1/x)=0

实数

• 实数完备性：实数域关于极限运算封闭，即实数列的极限仍为实数。
• 确界存在定理：非空有上界数集必有上确界。
• 单调有界定理: 单调有界数列必收敛。
• 区间套定理：满足区间套条件的所有闭区间有唯一公共点，且左右端点都收敛于这个点。
• 聚点定理：实轴上任意有界无限点集至少有一个聚点。
• 有限覆盖定理：闭区间 $[a,b]$ 的任意开覆盖必有有限子覆盖。
• Bolzano–Weierstrass 定理：任何有界实数列必有收敛子列。
• 柯西收敛定理：柯西列 $\iff$ 收敛

连续（以及闭区间上连续函数的性质）

• 连续的定义: $\displaystyle\lim_{x\to x_0} f(x)=f(x_0) \iff \forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,$ 当 $

  x-x_0

  <\delta$ 时，有 $

  f(x)-f(x_0)

  <\varepsilon$。

• 有界性定理 Boundedness Theorem：闭区间上的连续函数必有界。
• 最值定理 Extreme Value Theorem：闭区间上的连续函数必能取到最大值和最小值。
• 零点定理 Bolzano’s Theorem：若 $f\in C[a,b]$ 且 $f(a)f(b)<0$，则 $\exists\xi\in(a,b)$ 使得 $f(\xi)=0$。
• 介值定理 Intermediate Value Theorem：若 $f\in C[a,b]$，则 $f$ 可取到介于 $f(a)$ 与 $f(b)$ 之间的一切值。
• 一致连续：

微分

• 费马引理 Fermat’s Theorem：若 $f$ 在 $x_0$ 可导且在 $x_0$ 取极值，则 $f’(x_0)=0$。
• 罗尔定理 Rolle’s Theorem: 若 $f\in [a,b]$，在 $(a,b)$ 内可导，且 $f(a)=f(b)$，则 $\exists\xi\in(a,b)$ 使得 $f’(\xi)=0$。
• 拉格朗日中值定理 Lagrange Mean Value Theorem: 若 $f\in [a,b]$，在 $(a,b)$ 内可导，则 $\exists\xi\in(a,b)$ 使得
  $f(b)-f(a)=f’(\xi)(b-a)$。

积分

• 黎曼积分: $\displaystyle\int_a^b f(x)dx=\lim_{\lambda\to 0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i$。

向量空间和拓扑中的极限

• 极限（向量空间），用范数（距离）定义接近。
  $\displaystyle\lim_{x\to x_0} f(x)=a \iff \forall\varepsilon>0,\ \exists\delta>0,\ 0<|x-x_0|<\delta\Rightarrow|f(x)-a|<\varepsilon$
• 极限（拓扑空间），只用开集定义接近，不需要距离。
  For every open set $U$ containing $x$, there exists $N$ such that $x_n\in U$ for all $n\ge N$.
  即 $x_n\to x \iff \forall\ \text{open } U\ni x,\ \exists N,\ n\ge N\Rightarrow x_n\in U$

说明

• 文字描述利用定义来翻译。定义出现在条件中时可以展开，出现在结论中时需要构造。
• 语言描述也可以转化为符号描述。

证明

这里选择一部分定理来证明。证明思路如下：

• 极限
  • 三明治定义 <- 极限定义
• 实数
  • 单调有界 <- 确界存在定理
  • 闭区间套 <- 单调有界
  • BW定理 <- 闭区间套 或者 单调有界
• 连续
  • 有界性 <- BW定理（反证法）
  • 最值定理 <- 有界性定理 + BW定理（反证法）
  • 零点定理 <- 闭区间套定理（或确界存在定理）
• 微分
  • 费马引理 <- 函数极限的保号性 + 导数定义
  • 罗尔定理 <- 最值定理 + 费马引理
  • 拉格朗日中值定理 <- 罗尔定理（构造辅助函数）
• 积分

注意定理是因为符合现实而正确，证明只是在寻找成立的条件。

极限

极限的定义

数列极限

• 若∀ε>0, ∃N∈N,n>N⟹∣xn​−a∣<ε则 n→∞lim​xn​=a。

函数极限（x→x₀）

• 设 f(x) 在 x0​ 某去心邻域有定义，若∀ε>0, ∃δ>0,0<∣x−x0​∣<δ⟹∣f(x)−A∣<ε 则 x→x0​lim​f(x)=A。

常见的极限

利用极限的定义，构造对应的表达式。先根据结果反推需要的取值，在书写证明。

证明：n→∞lim​n1​=0
要证：∀ε>0, ∃N, n>N⇒​n1​−0​<ε。
任给 ε>0。
要n1​<ε⟺n>ε1​
取N=⌈ε1​⌉
当 n>N 时，必有 n>ε1​，从而​n1​−0​=n1​<ε
故 n→∞lim​n1​=0。

证明：n→∞lim​n+1n​=1
估计：​n+1n​−1​=​n+1−1​​=n+11​<n1​
任给 ε>0。
要 n1​<ε⇒n>ε1​。
取 N=⌈ε1​⌉。
当 n>N，​n+1n​−1​<n1​<ε
故 n→∞lim​n+1n​=1。

证明：∣q∣<1 时 n→∞lim​qn=0
只证 0<q<1（负的可加绝对值）。令 q=1+a1​, a>0，则qn=(1+a)n1​<1+na1​<na1​
任给 ε>0。
要na1​<ε⟺n>aε1​
取 N=⌈aε1​⌉。
当 n>N，∣qn−0∣=qn<na1​<ε
故 n→∞lim​qn=0 (∣q∣<1)。

极限的运算

定理：若 x→x0​lim​f(x)=A，x→x0​lim​g(x)=B，则limx→x0​​[f(x)+g(x)]=A+B

证明：对任意 ε>0，
由 x→x0​lim​f(x)=A，存在 δ1​>0，当0<∣x−x0​∣<δ1​时，有∣f(x)−A∣<2ε​
由 x→x0​lim​g(x)=B，存在 δ2​>0，当0<∣x−x0​∣<δ2​时，有∣g(x)−B∣<2ε​
取 δ=min{δ1​,δ2​}，则当0<∣x−x0​∣<δ时，​[f(x)+g(x)]−(A+B)​=​[f(x)−A]+[g(x)−B]​≤∣f(x)−A∣+∣g(x)−B∣<2ε​+2ε​=ε
故limx→x0​​[f(x)+g(x)]=A+B

三明治定理（夹逼准则）

定理：若 $y_n\le x_n\le z_n$，且 $\lim y_n=\lim z_n=A$，则 $\lim x_n=A$。

证明
对任意 $\varepsilon>0$，当 $n$ 足够大时：
$A-\varepsilon < y_n,\quad z_n < A+\varepsilon$
于是
$A-\varepsilon < y_n\le x_n\le z_n < A+\varepsilon$
即 $|x_n-A|<\varepsilon$，故 $\lim x_n=A$。

实数

确界原理

通常作为公理使用。也可以从实数定义推导。

单调有界定理

定理

若数列 ${x_n}$ 满足：

1. 单调递增：$x_1 \le x_2 \le \dots \le x_n \le \cdots$
2. 有上界：$\exists M,\ \forall n,\ x_n \le M$
   则 ${x_n}$ 收敛，且 $\lim_{n\to\infty}x_n = \sup{x_n}$

证明

1. 由确界原理： 非空有上界数集必有上确界，记 $\xi = \sup{x_n}$
2. 由上确界定义： $\forall n,\ x_n \le \xi$ ； $\forall \varepsilon>0,\ \exists N,\ x_N > \xi - \varepsilon$

3. 因 ${x_n}$ 单调递增： 当 $n>N$ 时， $\xi - \varepsilon < x_N \le x_n \le \xi < \xi + \varepsilon$ 即 $

   x_n - \xi

   < \varepsilon$

4. 由极限定义： $\lim_{n\to\infty}x_n = \xi$

递减情形（一句话）
单调递减有下界 $\implies$ 必有下确界 $\eta = \inf{x_n}$，同理可证

$\lim_{n\to\infty}x_n = \eta$

闭区间套定理

满足区间套条件的所有闭区间有唯一公共点，且左右端点都收敛于这个点。

定理

设闭区间列 ${[a_n,b_n]}$ 满足：

1. 区间套条件：$[a_1,b_1] \supset [a_2,b_2] \supset \dots \supset [a_n,b_n] \supset \cdots$
   即： $a_1 \le a_2 \le \dots \le a_n \le \dots \le b_n \le \dots \le b_2 \le b_1$
2. 长度趋于 0：$\displaystyle\lim_{n\to\infty}(b_n-a_n)=0$
   则存在唯一的实数 $\xi$，使得$\xi \in \bigcap_{n=1}^{\infty} [a_n,b_n]$ 且 $\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=\xi$

证明（用确界原理证明）

存在性

由区间套条件：

• 数列 ${a_n}$ 单调递增且有上界（任一 $b_n$ 都是上界）；
• 数列 ${b_n}$ 单调递减且有下界（任一 $a_n$ 都是下界）。

根据单调有界定理（由确界原理推出）： ${a_n}$ 收敛，记 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n = \xi$。

又 $\lim_{n\to\infty}b_n = \lim_{n\to\infty}\big[(b_n-a_n)+a_n\big] = 0 + \xi = \xi$

对任意 $n$： $a_n \le \xi \le b_n$ 故 $\xi \in \bigcap_{n=1}^{\infty}[a_n,b_n]$

唯一性

假设另有 $\eta \in \displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty}[a_n,b_n]$，则 $

\xi-\eta

\le b_n - a_n,\quad \forall n$

令 $n\to\infty$，$b_n-a_n\to0$，得 $

\xi-\eta

=0 \implies \xi=\eta$

唯一性得证。

Bolzano–Weierstrass 定理

定理：有界数列必有收敛子列。

证明1（用区间套定理）：
设 ${x_n}\subset[a,b]$，不断二等分区间，每次选含无穷多项的一半，得闭区间套
\([a_1,b_1]\supset[a_2,b_2]\supset\cdots,\quad b_n-a_n\to0.\)
由区间套定理，$\exists\xi\in\bigcap[a_n,b_n]$，且 $\lim a_n=\lim b_n=\xi$。
在第 $k$ 个区间内取 $x_{n_k}$（下标严格递增），由夹逼准则：
\(\lim_{k\to\infty}x_{n_k}=\xi.\)
故 ${x_{n_k}}$ 是收敛子列。

证明2（用单调有界定理）：
称 $x_n$ 为巨项，若对所有 $m>n$ 有 $x_n\ge x_m$。

1. 若有无穷多巨项 $\Rightarrow$ 可取出单调递减子列；
2. 若只有有限个巨项 $\Rightarrow$ 从某项后可取出单调递增子列。

总之，任一数列必有单调子列。
又原数列有界，故此单调子列单调有界。
由单调有界定理，该子列必收敛。

连续

连续的定义

对任意 ε>0，存在 δ>0，当∣x−x0​∣<δ时，有∣f(x)−f(x0​)∣<ε 则称 f(x) 在点 x0​ 连续。

很多常见函数都是连续的，且运算之后也是连续的。这里证明略过。

连续函数在闭区间上的性质

有界性定理 Boundedness Theorem

定理：若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 有界。

证明（用BW定理，反证法）：
反证。假设 $f$ 无界，则 $\forall n,\ \exists x_n\in[a,b],\ |f(x_n)|>n$。
${x_n}$ 有界，由致密性定理，存在子列 $x_{n_k}\to x_0\in[a,b]$。
由连续性：$\lim\limits_{k\to\infty}f(x_{n_k})=f(x_0)$，
与 $|f(x_{n_k})|>n_k\to\infty$ 矛盾。
故 $f$ 在 $[a,b]$ 有界。

最值定理 Extreme Value Theorem

定理：若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续，则 $f$ 可取到最大值、最小值。

证明：
由有界性，设 $M=\sup\limits_{[a,b]}f(x)$。
则 $\forall n,\ \exists x_n\in[a,b],\ M-\dfrac1n<f(x_n)\le M$。
${x_n}$ 有子列 $x_{n_k}\to \xi_1\in[a,b]$。
由连续性：$\lim\limits_{k\to\infty}f(x_{n_k})=f(\xi_1)=M$。
即 $f(\xi_1)=\max f$。同理可证最小值。

介值定理 Intermediate Value Theorem

定理：$f\in C[a,b]$，$\mu$ 介于 $f(a),f(b)$ 之间，则 $\exists\xi\in(a,b),\ f(\xi)=\mu$。

证明（用闭区间套定理）：
令 $F(x)=f(x)-\mu$，不妨 $F(a)<0,F(b)>0$。
用二分法构造闭区间套 $[a_n,b_n]$，满足：
$F(a_n)<0,\ F(b_n)>0,\ b_n-a_n\to0.$
由闭区间套定理，$\exists\xi\in\bigcap[a_n,b_n]$，且 $a_n\to\xi,\ b_n\to\xi$。
由连续性：
$F(\xi)=\lim F(a_n)\le0,\quad F(\xi)=\lim F(b_n)\ge0 \Rightarrow F(\xi)=0\Rightarrow f(\xi)=\mu.$

零点存在定理 Bolzano’s Theorem

定理：$f\in C[a,b]$，$f(a)f(b)<0$，则 $\exists\xi\in(a,b),\ f(\xi)=0$。

证明（介值定理的特殊情况）：
在介值定理中取 $\mu=0$，
由 $f(a),f(b)$ 异号，$0$ 介于两者之间，
故 $\exists\xi\in(a,b)$，使 $f(\xi)=0$。

微分

导数的定义

费马引理 Fermat’s Theorem

条件 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，且在 $x_0$ 取极值。 结论 $f’(x_0)=0$

证明（利用导数定义）

• 不妨设 $x_0$ 为极大值点，则 $\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \begin{cases} \ge 0,\ \Delta x<0\ \le 0,\ \Delta x>0 \end{cases}$
• 取极限 $\Delta x\to0$：$f’(x_0)\ge 0,\quad f’(x_0)\le 0 \Rightarrow f’(x_0)=0$

罗尔定理 Rolle’s Theorem

条件

1. $f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续
2. $f(x)$ 在 $(a,b)$ 可导
3. $f(a)=f(b)$

结论
$\exists\ \xi\in(a,b)$，使 $f’(\xi)=0$

证明（利用最值定理+费马引理）

• $f$ 在 $[a,b]$ 连续 ，由最值定理，有最大值 $M$、最小值 $m$。
• 若 $M=m$，则 $f$ 为常数，$f’\equiv0$，任取 ξ∈(a,b) 即可。
• 若 $M>m$，因 f(a)=f(b)，故 M 或 m 必在内部某点 ξ∈(a,b) 取得。
• 内部最值点必为极值点，由费马引理：$f’(\xi)=0$。

拉格朗日中值定理

条件

1. $f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续
2. $f(x)$ 在 $(a,b)$ 可导

结论
$f(b)-f(a)=f’(\xi)(b-a)$

证明（利用罗尔定理）

• 构造辅助函数：$\varphi(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$
• 则$\varphi(a)=\varphi(b)=0$
• 由罗尔定理，$\exists\ \xi\in(a,b)$ 使 $\varphi’(\xi)=0$，即$f’(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

柯西中值定理

条件

1. $f,g$ 在 $[a,b]$ 连续
2. $f,g$ 在 $(a,b)$ 可导
3. $g’(x)\neq 0$

结论

$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f’(\xi)}{g’(\xi)}$

证明

• 构造： $\varphi(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\big(g(x)-g(a)\big)$
• 则 $\varphi(a)=\varphi(b)=0$
• 由罗尔定理，$\exists\ \xi$ 使 $\varphi’(\xi)=0$，整理即得。

附录

逻辑

量词、量词的否定、量词的嵌套。

• ∀ε>0, ∃δ>0, ∀x (0<∣x−a∣<δ⇒∣f(x)−A∣<ε)
• 不收敛，上面的否定命题是∃ε>0, ∀δ>0, ∃x (0<∣x−a∣<δ 且 ∣f(x)−A∣≥ε)，即找到这样的反例就不收敛。即存在一个正数 ε0​，无论你取多小的 δ>0，都至少存在一个点 ** x 满足：x 在 a 的 δ 邻域内，但 f(x) 离 A 仍然不小于 ε0​。

代数

向量（矢量）的定义：

• 既有大小，又有方向的量。
• 满足加法交换律、结合律、有零元、有负元，数乘满足四条分配与结合律、1 乘不变的集合元素，就是向量。通过运算来定义。
• 通过数组来定义。

统计

大数定律：样本量越大，样本均值依概率收敛到总体均值。

• 对任意 ε>0，limn→∞​P(∣Xˉn​−μ∣<ε)=1
• 强大数定律 ⇒ 弱大数定律

参考资料

• 《数学分析原理》（Principles of Mathematical Analysis， Rudin 著）
• 《》